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Trigonométrie

Trigonométrie : Quelle utilité ?

jeudi 12 juin 2014

La trigonométrie parait souvent difficile, mais surtout parfois inutile...

Découvre à quoi peut servir la trigonométrie, et quelles sont des applications possibles de cette branche des mathématiques !

Le problème de base de la trigonométrie est à peu près celui ci :

Vous vous tenez sur la rive d’un fleuve large et vous voulez savoir par exemple la distance d’un arbre de l’autre coté, désigné sur le schéma par la lettre C (pour simplifier ignorons la 3ème dimension). Comment faire sans traverser réellement le fleuve ?

La démarche habituelle consiste à planter deux poteaux aux points A et B, et avec un décamètre ou une chaîne d’arpenteur et à mesurer la distance c qui les sépare ("la ligne de base").

Remplacez ensuite le poteau A par une lunette d’arpenteur comme celui de la figure ("théodolite"), munie d’un plateau divisé en 360 degrés permettant de repérer sa direction ("azimut"). En visant successivement l’arbre puis le poteau B, vous obtenez l’angle A du triangle ABC par soustraction des chiffres lus sur le plateau d’azimut. A partir du point B on mesure l’angle B de façon analogue.

La longueur c de la ligne de base et les deux angles A et B sont suffisantes pour tout connaître sur le triangle ABC, assez, par exemple, pour construire un triangle de même taille et de même forme sur un terrain identique. La trigonométrie (trigon = triangle) était à l’origine l’art de préciser uniquement par le calcul les informations absentes . Avec suffisamment d’informations, la trigonométrie vous permet de calculer les dimensions et les angles d’un triangle préalablement défini.

Pourquoi des triangles ? Parce que ce sont les figures de base qui permettent de construire toutes les autres formes (avec des côtés rectilignes). Un carré, un pentagone ou un polygone peuvent être divisés en triangles, en menant des lignes droites d’un angle à tous les autres

Les arpenteurs divisent une contrée en triangles pour la cartographier et placent à chaque sommet une "balise", qui de nos jours est souvent une plaque ronde en laiton, arrimée au sol, avec une cuvette au centre destinée à placer les tiges et les appareils de visée. (George Washington faisait ce travail dans sa jeunesse). Après avoir mesuré une ligne de base — telle que ab dans l’exemple du fleuve — l’arpenteur évaluait (comme décrit ici) les angles formés par ces points vers un autre point C, et utilisaient la trigonométrie pour calculer les distances AC, AB et BC. Celles-ci servaient de lignes de base pour 2 nouveaux triangles qui à leur tour fournissaient deux nouvelles lignes de base pour deux autres triangles... et ainsi de suite, jusqu’à ce que le pays entier soit couvert d’une grille ne comportant que des distances connues. Ultérieurement, on peut ajouter une grille secondaire subdivisant les plus grands triangles dont on repère les angles par des mâts en ferraille ce qui permet de connaître des distances supplémentaires et d’établir des cartes et des plans.

Une grande réalisation du XVIII ème siècle fut la "grande mesure trigonométrique" de l’Inde britannique. Les deux plus grands théodolites jamais construits furent réalisés pour ce projet, véritables monstres avec des plateaux circulaires de 36 pouces de large, sur lesquels les graduations étés lues avec une précision exceptionnelle par 5 microscopes. Chacun dans son coffre pesait une demie tonne et il fallait 12 hommes pour la transporter . Grâce à eux, ce projet a découpé le pays en multiples côtés de triangles du nord au sud et d’est en ouest (les secteurs entre les côtés ont été laissés pour après) et cela a pris des décennies pour être mené à bien.

En 1843 Andrew Scott Waugh a pris la charge ce projet en tant qu’ Arpenteur - Général, et étudiât en particulier les crêtes de l’Himalaya au nord de l’Inde. En raison des nuages et de la brume ces crêtes sont rarement vues des terres situées en contrebas, et peu de mesures avaient été réalisées sous contrôle de la vue jusqu’en 1847. Et même après, les résultats ont dû être laborieusement analysés par des "ordinateurs" dans les bureaux de vérification : non pas par des machines, mais par les personnes qui avaient exécuté tous les calculs trigonométriques.

L’histoire dit qu’en 1852, le calculateur en chef, Radanath Sikhdar, rendit visite au directeur du projet et lui annonçât : "Monsieur, nous avons découvert la plus haute montagne du monde." A une distance de plus de 100 milles (160 kilomètres), la crête a été observée depuis six stations différentes, et " l’observateur n’a jamais suspecté qu’il visionnait dans son télescope le point le plus élevé de la terre." à l’origine elle est désignée comme "crête XV" dans le rapport, mais en 1856 Waugh lui donna le nom de Sir George Everest, son prédécesseur comme chef arpenteur. Everest fut celui qui commanda et utilisa pour la première fois ces théodolites géants ; ils sont maintenant exposés au musée du relevé de l’Inde à Dehra Dum.

De nos jours la localisation d’un point sur la terre peut être déterminée avec exactitude en utilisant le "système de positionnement global" (GPS) qui recourt à 24 satellites aux orbites précises, émettant constamment leurs positions. Un petit instrument électronique tenu en main reçoit leurs signaux et donne la position à moins de 10-20 mètres (encore plus exactement pour les militaires, commanditaires du système).Cela implique beaucoup de trigonométrie, mais c’est l’ordinateur de l’instrument qui s’en occupe : tout ce que vous avez à faire est d’enfoncer les boutons appropriés.

Maintenant que vous connaissez un peu les utilisations de la trigonométrie, vous êtes parés pour en étudier l’essentiel

Note :
Les détails au sujet de la découverte du mont Everest et l’aperçu sur l’Inde sont tirés de "Who Discovered Mount Everest ?" de Parke A. Dickey, Eos (Transactions of the American Geophysical Union), vol 66, p. 697-700, 8 October 1985. L’article est réimprimé à la page p. 54-59 de History of Geophysics, Vol. 4, édité chez C. Stewart Gillmor, publication de the American Geophysical Union, 1990.

Un résumé très lisible, avec l’histoire de William Lambton, le concepteur de cette mission, peut être trouvé dans "The Great Arc : The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named" de John Keay, 160 pages reliées, Harper and Collins, Sept. 2000.

En savoir plus :

Au sujet de l’appellation du Mont Everest : naming of Mt. Everest.


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